题目描述

题目来自 USACO 2021 US Open Contest, Platinum Problem 2. Routing Schemes

考虑一个由 $N$（$2\le N\le 100$）个编号为 $1\ldots N$ 的结点组成的网络。每个结点被指定为发送者（sender）、接收者（receiver）或两者均不是。发送者的数量 $S$ 与接收者的数量相等（$S\ge 1$）。

这一网络中结点间的连接关系可以用一系列形式为 $i\to j$ 的有向边表示，代表由结点 $i$ 可以路由到结点 $j$。有趣的是，所有的边满足性质 $i<j$，除了 $K$ 条满足 $i>j$（$0\le K\le 2$）。网络中没有自环（$i\to i$ 形式的边）。

一个「路由方案」的描述由 $S$ 条从发送者到接收者的有向路径组成，其中没有两条路径有相同的起止点。也就是说，这些路径将不同的发送者连接到不同的接收者。一条从发送者 $s$ 到接收者 $r$ 的路径可以用一个结点序列

$$s=v_0\to v_1\to v_2\to \ldots \to v_e=r$$

表示，其中对于所有 $0\le i<e$，有向边 $v_i\to v_{i+1}$ 均存在。一个结点可能在同一条路径中出现多于一次。

计算使得每条有向边恰好使用一次的路由方案数量。由于答案可能非常大，输出答案对 $10^9+7$ 取模的结果。输入保证存在至少一种路由方案符合条件。

每个输入包含 $T$（$1\le T\le 20$）组需要独立求解的测试用例。输入保证所有测试用例的 $N^2$ 之和不超过 $2\cdot 10^4$。

输入格式

输入的第一行包含 $T$，为测试用例的数量。

每个测试用例的第一行包含整数 $N$ 和 $K$。注意 $S$ 并不会在输入中明确给出。

每个测试用例的第二行包含一个长为 $N$ 的字符串。如果第 $i$ 个结点是发送者，则字符串的第 $i$ 个字符为 S，如果第 $i$ 个结点是接收者则为 R，如果第 $i$ 个结点两者均不是则为 .。字符串中 R 的数量等于 S 的数量，且至少有一个 S。

每个测试用例的以下 $N$ 行每行包含一个长为 $N$ 的 $01$ 字符串。如果从结点 $i$ 到结点 $j$ 存在一条有向边，则第 $i$ 行的第 $j$ 个字符为 $1$，否则为 $0$。由于不存在自环，矩阵的主对角线仅包含 $0$。除此之外，在主对角线以下恰好有 $K$ 个 $1$。

为提高可读性，相邻的测试用例之间用一个空行隔开。

输出格式

对每个测试用例，输出每条边使用恰好一次的路由方案的数量，结果对 $10^9+7$ 取模。输入保证对每个测试用例存在至少一种合法的路由方案。

样例 1

2

8 0
SS....RR
00100000
00100000
00011000
00000100
00000100
00000011
00000000
00000000

13 0
SSS.RRRSS.RR.
0001000000000
0001000000000
0001000000000
0000111000000
0000000000000
0000000000000
0000000000000
0000000001000
0000000001000
0000000000110
0000000000000
0000000000000
0000000000000

4
12

对于第一个测试用例，网络中的边为 $1\to 3,2\to 3,3\to 4,3\to 5,4\to 6,5\to 6,6\to 7,6\to 8$。

有四种可能的路由方案：

• $1\to 3\to 4\to 6\to 7,2\to 3\to 5\to 6\to 8$
• $1\to 3\to 5\to 6\to 7,2\to 3\to 4\to 6\to 8$
• $1\to 3\to 4\to 6\to 8,2\to 3\to 5\to 6\to 7$
• $1\to 3\to 5\to 6\to 8,2\to 3\to 4\to 6\to 7$

对于第二个测试用例，网络中的边为 $1\to 4,2\to 4,3\to 4,4\to 5,4\to 6,4\to 7,8\to 10,9\to 10,10\to 11,11\to 12$。

一种可能的路由方案由如下路径组成：

• $1\to 4\to 5$
• $2\to 4\to 7$
• $3\to 4\to 6$
• $8\to 10\to 12$
• $9\to 10\to 11$

总的来说，发送者 $\{1,2,3\}$ 可以路由到接收者 $\{5,6,7\}$ 的某个排列，发送者 $\{8,9\}$ 可以路由到接收者 $\{11,12\}$ 的某个排列，得出答案为 $6\cdot 2=12$。

2

5 1
SS.RR
00101
00100
10010
00000
00000

6 2
S....R
001000
000100
010001
000010
001000
000000

3
1

对于第一个测试用例，网络中的边为 $1\to 3,1\to 5,2\to 3,3\to 1,3\to 4$。

有三种可能的路由方案：

• $1\to 3\to 1\to 5,2\to 3\to 4$
• $1\to 3\to 4,2\to 3\to 1\to 5$
• $1\to 5,2\to 3\to 1\to 3\to 4$

对于第二个测试用例，网络中的边为 $1\to 3,2\to 4,3\to 2,3\to 6,4\to 5,5\to 3$。

只有一种可能的路由方案：$1\to 3\to 2\to 4\to 5\to 3\to 6$。

5

3 2
RS.
010
101
100

4 2
.R.S
0100
0010
1000
0100

4 2
.SR.
0000
0011
0100
0010

5 2
.SSRR
01000
10101
01010
00000
00000

6 2
SS..RR
001010
000010
000010
000010
100101
000000

2
1
2
6
24

一些额外的小的测试用例。

数据范围与提示

• 测试点 4-5 满足 $N\le 6$。
• 测试点 6-7 满足 $K=0$。
• 测试点 8-12 满足 $K=1$。
• 测试点 13-24 满足 $K=2$。

供题：Benjamin Qi