题目描述

题目来自 USACO 2021 January Contest, Platinum Problem 1. Sum of Distances。

Bessie 有一些无向连通图 $G_1, G_2, \ldots , G_K$（$2 \le K \le 5 \times {10}^4$）。对于每一个 $1 \le i \le K$，$G_i$ 有 $N_i$（$N_i \ge 2$）个编号为 $1 \ldots N_i$ 的结点与 $M_i$（$M_i \ge N_i - 1$）条边。$G_i$ 可能含有自环，但同一对结点之间不会存在多条边。

现在 Elsie 用 $N_1 \cdot N_2 \cdot \ldots \cdot N_K$ 个结点建立了一个新的无向图 $G$，每个结点用一个 $K$ 元组 $(j_1, j_2, \ldots , j_K)$ 标号，其中 $1 \le j_i \le N_i$。若对于所有的 $1 \le i \le K$，$j_k$ 与 $k_i$ 在 $G_i$ 中连有一条边，则在 $G$ 中结点 $(j_1, j_2, \ldots , j_K)$ 和 $(k_1, k_2, \ldots , k_K)$ 之间连有一条边。

定义 $G$ 中位于同一连通分量的两个结点的_距离_为从一个结点到另一个结点的路径上的最小边数。计算 $G$ 中结点 $(1, 1, \ldots, 1)$ 与所有与其在同一连通分量的结点的距离之和，对 ${10}^9 + 7$ 取模。

输入格式

输入的第一行包含 $K$，为图的数量。

每个图的描述的第一行包含 $N_i$ 和 $M_i$，以下是 $M_i$ 条边。

为提高可读性，相邻的图之间用一个空行隔开。输入保证 $\sum N_i \le {10}^5$ 以及 $\sum M_i \le 2 \times {10}^5$。

输出格式

输出结点 $(1, 1, \ldots, 1)$ 与所有该结点可以到达的结点的距离之和，对 ${10}^9 + 7$ 取模。

样例 1

2

2 1
1 2

4 4
1 2
2 3
3 4
4 1

4

$G$ 包含 $2 \cdot 4 = 8$ 个结点，其中 $4$ 个结点不与结点 $(1, 1)$ 连通。有 $2$ 个结点与 $(1, 1)$ 的距离为 $1$，$1$ 个结点的距离为 $2$。所以答案为 $2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 4$。

3

4 4
1 2
2 3
3 1
3 4

6 5
1 2
2 3
3 4
4 5
5 6

7 7
1 2
2 3
3 4
4 5
5 6
6 7
7 1

706

$G$ 包含 $4 \cdot 6 \cdot 7 = 168$ 个结点，均与结点 $(1, 1, 1)$ 连通。对于每一个 $i \in [1, 7]$，与结点 $(1, 1, 1)$ 距离为 $i$ 的结点数量为下列数组中的第 $i$ 个元素：$[4, 23, 28, 36, 40, 24, 12]$。

数据范围与提示

测试点 $3 \sim 4$ 满足 $\prod N_i \le 300$。
测试点 $5 \sim 10$ 满足 $\sum N_i \le 300$。
测试点 $11 \sim 20$ 没有额外限制。